在数学解题过程中，经常能够遇到比如 \(\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}\) 的多层根号形式，其中部分可以化简，部分不可以化简。本篇文章便是分析其中的规律，并对于可以化简的形式给出一般的化简办法。
所谓化简，表示将形如 \(\sqrt{a +\sqrt{b}}\) 的表现形式化为 \(\sqrt{x} + \sqrt{y}\) 的形式，其中 \(x, y, a, b \in \mathbb{Q}^{+}\) 。
嵌套根式的分类以及部分约定
对于多层根号，我们在此只研究形如 \(\sqrt{a \pm \sqrt{b}} \quad (a, b \in \mathbb{Q})\) 的形式。
由于只在实数范围内分解，在此约定 \(b \geqslant 0\) 。又因为可以证明 \(a < 0\) 的情况下根式均无法化简（见证明1），因此约定 \(a \geqslant 0\) 。
而对于 \(a = 0\) 或 \(b = 0\) 时，其根式很容易化简，在此直接排除。
在下文中，由于计算便捷的考虑，此处设待转化的根式为 \(\sqrt{a \pm 2\sqrt{b}}\) ，可以看出增加的系数 2 并不影响其与原式的双向转化。
故在以下部分，本文均以 \(\sqrt{a \pm 2\sqrt{b}} \quad (a, b \in \mathbb{Q}^+)\) 为原根式的标准形式。
综上，设 \(a, b \in \mathbb{Q}^+\) ，则有如下两类根式为我们讨论的范围：
- \(\sqrt{a+2\sqrt{b}}\) : 最为常见的形式，本文讨论的重点。
- \(\sqrt{a -2\sqrt{b}}\) : 本质上与第一种相同，类比即可得出判断与化简方法。
一般嵌套根式的判断与化简方法
此处本文先给出其化简方法，之后再论证其合理性。
步骤一 将根式化为标准根式形式。
即 \(\sqrt{a \pm 2\sqrt{b}} \quad (a, b \in \mathbb{Q}^+)\) 。
步骤二 先验判断。
若方程系数较小，可以做先验判断。若存在正有理数 \(x, y\) 满足
\[\begin{cases} x + y = a \\ xy = b \end{cases}\]
则可直接得出化简结果为 \(\sqrt{x} \pm \sqrt{y}\) 。
另外，若 \(a, b\) 都是正整数，则 \(x, y\) 也一定是正整数。（见证明2）
步骤三 若不易判断，则判断能否化简。
设 \(\Delta^\prime = a ^ 2 - 4b\) ， 若 \(\Delta^\prime\) 非负且可以化为有理数的平方，则原式可以化简。
步骤四 若判断能够化简，则代入公式化简即可。
化简公式为
\[\begin{cases} x = \dfrac{a + \sqrt{\Delta^\prime}}{2} \\ y = \dfrac{a - \sqrt{\Delta^\prime}}{2} \end{cases}\]
则答案即为 \(\sqrt{x} \pm \sqrt{y}\) 。
关于化简方法的推导与论证
若原式可以化简，则存在两正有理数 \(x, y\) ，使得
\[\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{a + 2\sqrt{b}}\]
同时平方有
\[x + y + 2\sqrt{xy} = a + 2\sqrt{b}\]
同时对照有理、无理部分有
\[\begin{cases} x + y = a \\ xy = b \end{cases}\]
故只要此方程组有正有理解，则原根式可以化简；若不存在正有理解，则原根式不能化简。
此处证明了步骤二的正确性。
为解方程组，构造二次方程：
\[z^2 - az + b = 0\]
由韦达定理，此二次方程与上面的方程组完全等同，且 \(x, y\) 即为此方程的两个解。
为使得原根式可以化简，方程需要有两个正有理解。故可列出条件：
\[\begin{cases}\dfrac{a}{2} > 0 \quad &\text{对称轴在 y 轴右侧} \\ a^2 - 4b \geqslant 0 \quad &\text{有两根} \\ \sqrt{a^2 - 4b} \in \mathbb{Q} \quad &\text{两根为有理根} \\ b > 0 \quad &\text{与 y 轴交于正半轴}\end{cases}\]
其中第一个和第四个条件显然成立，故只要第二个和第三个条件成立，原根式即可化简。
此处证明了步骤三的正确性。
若成立，则对应的 \(x, y\) 可以直接由二次方程求根公式得到，代入公式即可得到
\[\begin{cases} x = \dfrac{a + \sqrt{\Delta^\prime}}{2} \\ y = \dfrac{a - \sqrt{\Delta^\prime}}{2} \end{cases}\]
此处证明了步骤四的正确性。
应用举例
例1
化简 \(\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}\) 。
注意原题已经给出标准形式，跳过步骤一。
步骤二中，注意到 \(3 + 1 = 4\) , \(3 \times 1 = 3\) ，故可以直接得到解 \(x = 1, y = 3\) 。
直接化简原式为 \(\sqrt{3} +1\) 。
例2
化简 \(\sqrt{1 + \dfrac{\sqrt{6}}{3}}\) 。
先化为标准形式，即
\[\sqrt{1 + \dfrac{\sqrt{6}}{3}} = \dfrac{1}{\sqrt{6}}\sqrt{6 + 2\sqrt{6}}\]
计算 \(\Delta^\prime\) 。
\[\Delta^\prime = a^2 - 4b = 36 - 6 \times 4 = 12\]
其中 12 不能够写成一个有理数的平方，故无法化简。
例3
化简 \(\sqrt{29-6\sqrt{6}}\) 。
\[\sqrt{29-6\sqrt{6}} = \sqrt{3}\sqrt{\dfrac{29}{3} - 2\sqrt{6}}\]
其中
\[\begin{aligned}\Delta^\prime &= \left(\dfrac{29}{3}\right)^2 - 4 \times 6 \\ &= \dfrac{625}{9} = \left(\dfrac{25}{3}\right)^2\end{aligned}\]
故
\[\begin{cases}x = \dfrac{\dfrac{29}{3} +\dfrac{25}{3}}{2} = 9 \\ y = \dfrac{\dfrac{29}{3} - \dfrac{25}{3}}{2} = \dfrac{2}{3}\end{cases}\]
故有
\[\begin{aligned}\sqrt{29-6\sqrt{6}} &= \sqrt{3}\sqrt{\dfrac{29}{3} - 2\sqrt{6}} \\ &= \sqrt{3}\left(\sqrt{9}-\sqrt{\dfrac{2}{3}}\right) \\ &= 3\sqrt{3} - \sqrt{2}\end{aligned}\]
一些证明
证明 \(1\)
\(a < 0\) 时形如 \(\sqrt{a + \sqrt{b}} \quad (a, b \in \mathbb{Q})\) 的根式无法化简。
证 假设其可以化简，则存在两正有理数 \(x, y\) ，使得
\[\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{a + \sqrt{b}}\]
同时平方有
\[x + y + 2\sqrt{xy} = a + \sqrt{b}\]
对照有理部分有
\[a = x + y\]
又知 \(a < 0\) , 故不存在正有理数 \(x, y\) 满足条件，原根式不能化简。
证明 \(2\)
对于 \(\sqrt{a + 2\sqrt{b}} = \sqrt{x} + \sqrt{y}\) ，若 \(a, b\) 为正整数且 \(x, y\) 为正有理数，则 \(x, y\) 也为正整数。
证 因为标准形式下根式可以化简，故有
\[\begin{cases} x = \dfrac{a + \sqrt{\Delta^\prime}}{2} \\ y = \dfrac{a - \sqrt{\Delta^\prime}}{2} \end{cases}\]
且 \(a\) 和 \(\sqrt{\Delta^\prime}\) 为非负整数。
故只要证 \(a\) 和 \(\sqrt{\Delta^\prime}\) 同奇偶即可。而显然 \(a\) 与 \(a^2\) 同奇偶，\(a^2\) 与 \(a^2 - 4b\) 同奇偶，\(a^2 - 4b\) 与 \(\sqrt{a^2 - 4b}\) 同奇偶，故 \(a\) 与 \(\sqrt{\Delta^\prime}\) 同奇偶。故命题得证。
2020-09-23 Update : 修正证明过程，增加了关于 \(\sqrt{\Delta^\prime}\) 为整数的声明（证明2）。