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求古寻论，散虑逍遥。

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题解 洛谷P1962 斐波那契数列

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题解 洛谷P1962 斐波那契数列

P1962 斐波那契数列 - 洛谷 计算机科学教育新生态

题目大意

求斐波那契数列第 \(n\) 项 \(F_n \bmod 10^9+7\) 的值。

其中 \(1 \leqslant n < 2^{63}\) 。

算法选择

矩阵快速幂优化动态规划。

算法 矩阵快速幂 | 散虑の春雨寻风

具体思路

动态规划转移方程：

\[F(n)=F(n-1)+F(n-2)\]

矩阵构造：

\[A_{n+1}=SA_n\]

\[\begin{bmatrix}    F(n+1) \\    F(n)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}    1 &1 \\    1 &0 \\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}    F(n) \\    F(n-1)\end{bmatrix}\]

快速幂次数：

\[A_n=SA_{n-1}=S^2A_{n-2}=\cdots=S^{n-2}A_2\]

代码实现

时间复杂度 \(O(\log n)\) ，用时 134ms 。

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#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>

const int MOD = 1e9 + 7;

struct matrix
{
    static const int l = 2;
    long long val[l][l];

    matrix();
    matrix operator*(const matrix &) const;
};

unsigned long long n;

matrix::matrix()
{
    memset(val, 0, sizeof(val));
}

matrix matrix::operator*(const matrix &mat) const
{
    matrix res;
    for (register int i = 0; i < l; i++)
        for (register int j = 0; j < l; j++)
            for (register int k = 0; k < l; k++)
                res.val[i][j] = (res.val[i][j] + val[i][k] * mat.val[k][j]) % MOD;
    return res;
}

template <typename T>
T ksm(T a, long long x)
{
    T ans = a;
    x--;
    if (x <= 0)
        return a;
    for (; x; x >>= 1)
    {
        if (x & 1)
            ans = ans * a;
        a = a * a;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    scanf("%llu", &n);

    matrix begin;
    begin.val[0][0] = begin.val[1][0] = 1;

    matrix trans;
    trans.val[0][0] = trans.val[0][1] = trans.val[1][0] = 1;
    trans = ksm(trans, n - 2);

    matrix end = trans * begin;
    if (n == 1  n == 2)
        printf("1\n");
    else
        printf("%lld\n", end.val[0][0]);

    system("pause");
    return 0;
}